Równania kwadratowe (FULL): definicja, wzory, przykładowe problemy

równanie kwadratowe

Równanie kwadratowe jest jednym z równań matematycznych zmiennej, która ma największą potęgę dwóch.

Ogólna postać równania kwadratowego lub PK jest następująca:

ax 2 + bx + c = 0

gdzie x jest zmienną, a , b jest współczynnikiem, a c jest stałą. Wartość a nie jest równa zeru.

Kształty wykresów

Jeśli równanie kwadratowe jest opisane za pomocą współrzędnych kartezjańskich (x, y), to tworzy wykres paraboliczny. Dlatego równania kwadratowe są często nazywane równaniami parabolicznymi .

Poniżej znajduje się przykład postaci tego równania w postaci wykresu parabolicznego.

wykres równań kwadratowych

W ogólnym równaniu wartości a , b i c silnie wpływają na wynikowy wzór paraboliczny.

Wartość a określa wklęsłą lub wypukłą krzywiznę paraboli. Jeśli wartość a> 0, to parabola otworzy się (wklęsła) . I odwrotnie, jeśli a <0 , to parabola otworzy się w dół (wypukła) .

Wartość b w równaniu określa wierzchołek paraboli . Innymi słowy, określ wartość osi symetrii krzywej, która jest równa x = - b / 2a .

Stała wartość c na wykresie równania wyznaczającego punkt przecięcia z funkcją paraboliczną osi y . Poniżej znajduje się wykres paraboliczny ze zmianami stałej wartości c .

Korzenie równania kwadratowego (PK)

Rozwiązanie równania kwadratowego nazywa się kar - pierwiastkiem równania kwadratowego .

Różne korzenie PK

Rodzaje pierwiastków PK można łatwo znaleźć za pomocą ogólnego wzoru D = b2 - 4ac z ogólnego równania dla kwadratu ax2 + bx + c = 0.

Poniżej przedstawiono rodzaje pierwiastków równań kwadratowych.

1. Prawdziwy pierwiastek (D> 0)

Jeśli wartość D> 0 z PK, da to prawdziwe korzenie, ale będzie miało różne korzenie. Innymi słowy, x1 to nie to samo, co x2.

Przykład rzeczywistego równania pierwiastkowego (D> 0)

Znajdź typ pierwiastka równania x2 + 4x + 2 = 0.

Rozwiązanie:

a = 1; b = 4; i c = 2

D = b2 - 4ac

D = 42 - 4 (1) (2)

D = 16 - 8

D = 8

Więc skoro wartość D> 0, to pierwiastek jest typu real root.

2.Real pierwiastek równa się x1 = x2 (D = 0)

Jest typem pierwiastka równania kwadratowego, które tworzy pierwiastki o tej samej wartości (x1 = x2).

Przykład prawdziwych pierwiastków (D = 0)

Znajdź pierwiastek PK równy 2x2 + 4x + 2 = 0.

Przeczytaj także: Rodzaje cykli wody (+ pełny obraz i wyjaśnienie)

Rozwiązanie:

a = 2; b = 4; c = 2

D = b2 - 4ac

D = 42 - 4 (2) (2)

D = 16 - 16

D = 0

Tak więc, ponieważ wartość D = 0, udowodniono, że korzenie są prawdziwe i bliźniacze.

3. Wyimaginowane korzenie / nierealne (D <0)

Jeśli wartość D <0, wtedy pierwiastek równania kwadratowego będzie urojony / nierzeczywisty.

Przykład urojonych pierwiastków (D <0) /

Znajdź typ pierwiastka równania x2 + 2x + 4 = 0.

Rozwiązanie:

a = 1; b = 2; c = 4

D = b2 - 4ac

D = 22 - 4 (1) (4)

D = 4 - 16

D = -12

Więc ponieważ wartość D <0, pierwiastek równania jest nierzeczywistym lub urojonym pierwiastkiem.

Znajdź korzenie równania kwadratowego

Istnieje kilka metod, których można użyć do znalezienia pierwiastków równania kwadratowego. Wśród nich są faktoryzacja, idealne kwadraty i użycie wzoru abc.

Poniżej opisano kilka metod znajdowania pierwiastków równań.

1. Faktoryzacja

Faktoryzacja / faktoring to metoda znajdowania pierwiastków poprzez szukanie wartości, która po pomnożeniu da inną wartość.

Istnieją trzy formy równań kwadratowych (PK) o różnym rozkładzie pierwiastków, a mianowicie:

Nie. Forma równania Faktoryzacja korzeni
1 x 2 + 2xy + y 2 = 0 (x + y) 2 = 0
2 x 2 - 2xy + y 2 = 0 (x - y) 2 = 0
3 x 2 - y 2 = 0 (x + y) (x - y) = 0

Poniżej znajduje się przykład problemu dotyczącego stosowania metody faktoryzacji w równaniach kwadratowych.

Rozwiąż równanie kwadratowe 5x 2 + 13x + 6 = 0 stosując metodę faktoryzacji.

Rozwiązanie:

5x2 + 13x = 6 = 0

5x2 + 10x + 3x + 6 = 0

5x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0

(5x + 3) (x + 2) = 0

5x = -3 lub x = -2

Zatem rozwiązaniem będzie x = -3/5 lub x = -2

2. Idealne kwadraty

Idealny kwadratowa forma jest równanie kwadratowe, które produkuje liczby wymierne .

Wyniki doskonałego równania kwadratowego generalnie wykorzystują następujący wzór:

(x + p) 2 = x2 + 2px + p2

Ogólne rozwiązanie idealnego równania kwadratowego jest następujące:

(x + p) 2 = x2 + 2px + p2

gdzie (x + p) 2 = q, to:

(x + p) 2 = q

x + p = ± q

x = -p ± q

Poniżej znajduje się przykład problemu z wykorzystaniem metody doskonałego równania.

Rozwiąż równanie x2 + 6x + 5 = 0, używając doskonałej metody równania kwadratowego!

Rozwiązanie:

x2 + 6x +5 = 0

x2 + 6x = -5

Następnym krokiem jest dodanie jednej liczby w prawym i lewym segmencie, aby mogła zmienić się w idealny kwadrat.

x2 + 6x + 9 = -5 + 9

x2 + 6x + 9 = 4

(x + 3) 2 = 4

(x + 3) = √4

x = 3 ± 2

Zatem ostateczny wynik to x = -1 lub x = -5

Przeczytaj także: Definicja i różnica homonimów, homofonów i homografów

3. Wzory kwadratowe ABC

Wzór abc jest alternatywnym wyborem, gdy równanie kwadratowe nie może zostać rozwiązane za pomocą faktoryzacji lub doskonałych metod kwadratowych.

Poniżej przedstawiono wzór abc na równanie kwadratowe ax2 + bx + c = 0.

pierwiastki równania kwadratowego

Poniżej znajduje się przykład rozwiązania problemu z równaniem kwadratowym za pomocą wzoru abc .

Rozwiąż równanie x2 + 4x - 12 = 0, używając metody formuły abc!

Rozwiązanie:

x2 + 4x - 12 = 0

gdzie a = 1, b = 4, c = -12

Konstruowanie nowego równania kwadratowego

Jeśli wcześniej nauczyliśmy się znajdować korzenie równania, teraz nauczymy się tworzyć równanie kwadratowe z korzeni, które były wcześniej znane.

Oto kilka sposobów na zbudowanie nowego PK.

1. Skonstruuj równanie, jeśli znane są pierwiastki

Jeśli równanie ma pierwiastki x1 i x2, to równanie dla tych pierwiastków można wyrazić w postaci

(x- x 1 ) (x- x 2 ) = 0

Przykład:

Znajdź równanie kwadratowe, w którym pierwiastki znajdują się między -2 a 3.

Rozwiązanie:

x 1 = -2 i x 2 = 3

(x - (- 2)) (x-3) = 0

(x + 2) (x + 3)

x2-3x + 2x-6 = 0

x2-x-6 = 0

Zatem wynik równania dla tych pierwiastków to x2-x-6 = 0

2. Skonstruuj równanie kwadratowe, jeśli znasz liczbę i iloczyn pierwiastków

Jeśli znane są pierwiastki równania kwadratowego z liczbą i razy x1 i x2, równanie kwadratowe można przekształcić w następującą postać.

x2- (x 1+ x 2 ) x + (x 1. x 2 ) = 0

Przykład:

Znajdź równanie kwadratowe z pierwiastkami 3 i 1/2.

Rozwiązanie:

x 1 = 3 i x 2 = -1/2

x 1+ x 2 = 3-1/2 = 6/2 - 1/2 = 5/2

x 1. x 2 = 3 (-1/2) = -3/2

Zatem równanie kwadratowe wygląda następująco:

x2- (x 1+ x 2 ) x + (x 1. x 2 ) = 0

x2– 5/2 x - 3/2 = 0 (pomnożone przez 2 z każdej strony)

2x2-5x-3 = 0

Zatem równanie kwadratowe dla pierwiastków 3 i 1/2 to 2x2-5x-3 = 0.