Równanie kwadratowe jest jednym z równań matematycznych zmiennej, która ma największą potęgę dwóch.
Ogólna postać równania kwadratowego lub PK jest następująca:
ax 2 + bx + c = 0
gdzie x jest zmienną, a , b jest współczynnikiem, a c jest stałą. Wartość a nie jest równa zeru.
Kształty wykresów
Jeśli równanie kwadratowe jest opisane za pomocą współrzędnych kartezjańskich (x, y), to tworzy wykres paraboliczny. Dlatego równania kwadratowe są często nazywane równaniami parabolicznymi .
Poniżej znajduje się przykład postaci tego równania w postaci wykresu parabolicznego.
W ogólnym równaniu wartości a , b i c silnie wpływają na wynikowy wzór paraboliczny.
Wartość a określa wklęsłą lub wypukłą krzywiznę paraboli. Jeśli wartość a> 0, to parabola otworzy się (wklęsła) . I odwrotnie, jeśli a <0 , to parabola otworzy się w dół (wypukła) .
Wartość b w równaniu określa wierzchołek paraboli . Innymi słowy, określ wartość osi symetrii krzywej, która jest równa x = - b / 2a .
Stała wartość c na wykresie równania wyznaczającego punkt przecięcia z funkcją paraboliczną osi y . Poniżej znajduje się wykres paraboliczny ze zmianami stałej wartości c .
Korzenie równania kwadratowego (PK)
Rozwiązanie równania kwadratowego nazywa się kar - pierwiastkiem równania kwadratowego .
Różne korzenie PK
Rodzaje pierwiastków PK można łatwo znaleźć za pomocą ogólnego wzoru D = b2 - 4ac z ogólnego równania dla kwadratu ax2 + bx + c = 0.
Poniżej przedstawiono rodzaje pierwiastków równań kwadratowych.
1. Prawdziwy pierwiastek (D> 0)
Jeśli wartość D> 0 z PK, da to prawdziwe korzenie, ale będzie miało różne korzenie. Innymi słowy, x1 to nie to samo, co x2.
Przykład rzeczywistego równania pierwiastkowego (D> 0)
Znajdź typ pierwiastka równania x2 + 4x + 2 = 0.
Rozwiązanie:
a = 1; b = 4; i c = 2
D = b2 - 4ac
D = 42 - 4 (1) (2)
D = 16 - 8
D = 8
Więc skoro wartość D> 0, to pierwiastek jest typu real root.
2.Real pierwiastek równa się x1 = x2 (D = 0)
Jest typem pierwiastka równania kwadratowego, które tworzy pierwiastki o tej samej wartości (x1 = x2).
Przykład prawdziwych pierwiastków (D = 0)
Znajdź pierwiastek PK równy 2x2 + 4x + 2 = 0.
Przeczytaj także: Rodzaje cykli wody (+ pełny obraz i wyjaśnienie)Rozwiązanie:
a = 2; b = 4; c = 2
D = b2 - 4ac
D = 42 - 4 (2) (2)
D = 16 - 16
D = 0
Tak więc, ponieważ wartość D = 0, udowodniono, że korzenie są prawdziwe i bliźniacze.
3. Wyimaginowane korzenie / nierealne (D <0)
Jeśli wartość D <0, wtedy pierwiastek równania kwadratowego będzie urojony / nierzeczywisty.
Przykład urojonych pierwiastków (D <0) /
Znajdź typ pierwiastka równania x2 + 2x + 4 = 0.
Rozwiązanie:
a = 1; b = 2; c = 4
D = b2 - 4ac
D = 22 - 4 (1) (4)
D = 4 - 16
D = -12
Więc ponieważ wartość D <0, pierwiastek równania jest nierzeczywistym lub urojonym pierwiastkiem.
Znajdź korzenie równania kwadratowego
Istnieje kilka metod, których można użyć do znalezienia pierwiastków równania kwadratowego. Wśród nich są faktoryzacja, idealne kwadraty i użycie wzoru abc.
Poniżej opisano kilka metod znajdowania pierwiastków równań.
1. Faktoryzacja
Faktoryzacja / faktoring to metoda znajdowania pierwiastków poprzez szukanie wartości, która po pomnożeniu da inną wartość.
Istnieją trzy formy równań kwadratowych (PK) o różnym rozkładzie pierwiastków, a mianowicie:
Nie. | Forma równania | Faktoryzacja korzeni |
1 | x 2 + 2xy + y 2 = 0 | (x + y) 2 = 0 |
2 | x 2 - 2xy + y 2 = 0 | (x - y) 2 = 0 |
3 | x 2 - y 2 = 0 | (x + y) (x - y) = 0 |
Poniżej znajduje się przykład problemu dotyczącego stosowania metody faktoryzacji w równaniach kwadratowych.
Rozwiąż równanie kwadratowe 5x 2 + 13x + 6 = 0 stosując metodę faktoryzacji.
Rozwiązanie:
5x2 + 13x = 6 = 0
5x2 + 10x + 3x + 6 = 0
5x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0
(5x + 3) (x + 2) = 0
5x = -3 lub x = -2
Zatem rozwiązaniem będzie x = -3/5 lub x = -2
2. Idealne kwadraty
Idealny kwadratowa forma jest równanie kwadratowe, które produkuje liczby wymierne .
Wyniki doskonałego równania kwadratowego generalnie wykorzystują następujący wzór:
(x + p) 2 = x2 + 2px + p2
Ogólne rozwiązanie idealnego równania kwadratowego jest następujące:
(x + p) 2 = x2 + 2px + p2
gdzie (x + p) 2 = q, to:
(x + p) 2 = q
x + p = ± q
x = -p ± q
Poniżej znajduje się przykład problemu z wykorzystaniem metody doskonałego równania.
Rozwiąż równanie x2 + 6x + 5 = 0, używając doskonałej metody równania kwadratowego!
Rozwiązanie:
x2 + 6x +5 = 0
x2 + 6x = -5
Następnym krokiem jest dodanie jednej liczby w prawym i lewym segmencie, aby mogła zmienić się w idealny kwadrat.
x2 + 6x + 9 = -5 + 9
x2 + 6x + 9 = 4
(x + 3) 2 = 4
(x + 3) = √4
x = 3 ± 2
Zatem ostateczny wynik to x = -1 lub x = -5
Przeczytaj także: Definicja i różnica homonimów, homofonów i homografów3. Wzory kwadratowe ABC
Wzór abc jest alternatywnym wyborem, gdy równanie kwadratowe nie może zostać rozwiązane za pomocą faktoryzacji lub doskonałych metod kwadratowych.
Poniżej przedstawiono wzór abc na równanie kwadratowe ax2 + bx + c = 0.
Poniżej znajduje się przykład rozwiązania problemu z równaniem kwadratowym za pomocą wzoru abc .
Rozwiąż równanie x2 + 4x - 12 = 0, używając metody formuły abc!
Rozwiązanie:
x2 + 4x - 12 = 0
gdzie a = 1, b = 4, c = -12
Konstruowanie nowego równania kwadratowego
Jeśli wcześniej nauczyliśmy się znajdować korzenie równania, teraz nauczymy się tworzyć równanie kwadratowe z korzeni, które były wcześniej znane.
Oto kilka sposobów na zbudowanie nowego PK.
1. Skonstruuj równanie, jeśli znane są pierwiastki
Jeśli równanie ma pierwiastki x1 i x2, to równanie dla tych pierwiastków można wyrazić w postaci
(x- x 1 ) (x- x 2 ) = 0
Przykład:
Znajdź równanie kwadratowe, w którym pierwiastki znajdują się między -2 a 3.
Rozwiązanie:
x 1 = -2 i x 2 = 3
(x - (- 2)) (x-3) = 0
(x + 2) (x + 3)
x2-3x + 2x-6 = 0
x2-x-6 = 0
Zatem wynik równania dla tych pierwiastków to x2-x-6 = 0
2. Skonstruuj równanie kwadratowe, jeśli znasz liczbę i iloczyn pierwiastków
Jeśli znane są pierwiastki równania kwadratowego z liczbą i razy x1 i x2, równanie kwadratowe można przekształcić w następującą postać.
x2- (x 1+ x 2 ) x + (x 1. x 2 ) = 0
Przykład:
Znajdź równanie kwadratowe z pierwiastkami 3 i 1/2.
Rozwiązanie:
x 1 = 3 i x 2 = -1/2
x 1+ x 2 = 3-1/2 = 6/2 - 1/2 = 5/2
x 1. x 2 = 3 (-1/2) = -3/2
Zatem równanie kwadratowe wygląda następująco:
x2- (x 1+ x 2 ) x + (x 1. x 2 ) = 0
x2– 5/2 x - 3/2 = 0 (pomnożone przez 2 z każdej strony)
2x2-5x-3 = 0
Zatem równanie kwadratowe dla pierwiastków 3 i 1/2 to 2x2-5x-3 = 0.