Równania okręgów - wzory, formy ogólne i przykładowe problemy

Równanie dla koła ma ogólną postać x ^ 2 + y ^ 2 + Ax + By + C = 0, które może być użyte do określenia promienia i środka koła.

Równanie okręgu, którego nauczysz się poniżej, ma kilka form. W różnych przypadkach równanie może być inne. Dlatego dobrze to zrozum, abyś mógł go zapamiętać na pamięć.

Okrąg to zbiór punktów, które są jednakowo oddalone od punktu. Współrzędne tych punktów są określane poprzez układ równań. Jest to określane na podstawie długości promienia i współrzędnych środka koła.

Równania okręgu

Istnieją różne rodzaje równań, a mianowicie równania utworzone z punktu środkowego i promienia oraz równanie, które można znaleźć dla punktu środkowego i promienia.

Ogólne równanie koła

Istnieje ogólne równanie, jak poniżej:

Sądząc z powyższego równania, punkt środkowy i promień można określić, są to:

Środek koła to:

W środku P (a, b) i promieniu r

Z okręgu, jeśli znasz punkt środkowy i promień, otrzymasz wzór:

Jeśli znasz środek okręgu i jego promień, gdzie (a, b) jest środkiem, a r jest promieniem okręgu.

Na podstawie powyższego równania możemy określić, czy uwzględnienie punktów leży na okręgu, czy wewnątrz czy na zewnątrz. Aby określić położenie punktu, należy użyć podstawienia punktu w zmiennych x i y, a następnie porównać wyniki z kwadratem promienia okręgu.

Punkt M (x ₁ , y ₁ ) leży:

Na kole:

Wewnątrz koła:

Poza okręgiem:

W ze środkiem O (0,0) i promieniem r

Jeśli punkt środkowy znajduje się w O (0,0), wykonaj podstawienie w poprzedniej części, a mianowicie:

Z powyższego równania można określić położenie punktu na okręgu.

Punkt M (x ₁ , y ₁ ) leży:

Na kole:

Wewnątrz koła:

Poza kręgiem: Przeczytaj także: Sztuka to: definicja, funkcja, typy i przykłady [PEŁNY]

Ogólną postać równania można wyrazić w następujących postaciach.

(x - a) 2 + (y - b) 2 = r2 lub

X2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0, lub

X2 + y2 + Px + Qy + S = 0, gdzie P = -2a, Q = -2b i S = a2 + b2 - r2

Przecięcie linii i okręgów

Okrąg z równaniem x2 + y2 + Ax + By + C = 0 można określić, czy prosta h o równaniu y = mx + n nie dotyka go, nie obraża go ani nie przecina go, stosując zasadę dyskryminacji.

……. (równanie 1)

…… .. (równanie 2)

Podstawiając równanie 2 do równania 1, otrzymasz równanie kwadratowe, a mianowicie:

Z powyższego równania kwadratowego, porównując wartości dyskryminacyjne, można zobaczyć, czy prosta nie obraża, nie narusza ani nie przecina koła.

Linia h nie przecina / nie narusza koła, więc D <0

Linia h jest styczna do okręgu, więc D = 0

Linia h przecina okrąg, więc D> 0

Równania stycznych do okręgów

1. Równanie stycznych przez punkt na okręgu

Styczne do okręgu dokładnie stykają się z punktem znajdującym się na okręgu. Z punktu przecięcia stycznej i koła można wyznaczyć równanie prostej stycznej.

Można wyznaczyć równanie stycznej do okręgu przechodzącej przez punkt P (x ₁ , y ₁ ), a mianowicie:

• Kształt

Równanie stycznej

• Kształt

Równanie stycznej

• Kształt

Równanie stycznej

Przykład problemów:

Równanie stycznej przechodzącej przez punkt (-1,1) na okręgu

są:

Odpowiedź:

Poznaj równanie dla koła

gdzie A = -4, B = 6 i C = -12 i x ₁ = -1, y ₁ = 1

PGS jest

Więc równanie stycznej jest

2. Równanie styczne do gradientu

Jeśli linia o nachyleniu m jest styczna do okręgu,

wtedy równanie stycznej wygląda następująco:

Jeśli to jest krąg,

następnie równanie stycznej:

Jeśli to jest krąg,

następnie równanie stycznej podstawiając r przez,

po to aby:

lub

3. Równania stycznych do punktów poza okręgiem

Z punktu znajdującego się poza okręgiem można narysować dwie styczne do okręgu.

Przeczytaj także: Demokracja: definicja, historia i typy [FULL]

Aby znaleźć równanie stycznej, stosuje się wzór równania linii regularnej, a mianowicie:

Jednak z tego wzoru nie jest znana wartość nachylenia linii. Aby znaleźć nachylenie prostej, podstaw równanie na równanie koła. Ponieważ prosta jest styczna, to z równania wynik podstawienia dla wartości D = 0, a wartość m zostanie uzyskana

Przykład problemów

Przykład Problem 1

Okrąg ma środek (2, 3) i ma 8 cm średnicy. Równanie koła to ...

Dyskusja:

Ponieważ d = 8 oznacza r = 8/2 = 4, więc równanie dla utworzonego koła to

(x - 2) ² + (y - 3) ² = 42

x² - 4x + 4 + y² -6y + 9 = 16

x² + y² - 4x - 6 lat - 3 = 0

Przykład Problem 2

Znajdź ogólne równanie dla okręgu wyśrodkowanego w punkcie (5,1) i naruszającego prostą 3 x - 4 y + 4 = 0!

Dyskusja:

Jeśli wiadomo, że środek koła ( a , b ) = (5,1), a styczna do koła wynosi 3 x - 4 y + 4 = 0, wówczas promień okręgu jest formułowany w następujący sposób.

Zatem ogólne równanie dla okręgu jest następujące.

Zatem ogólne równanie dla okręgu wyśrodkowanego w (5,1) i naruszającego linię 3 x - 4 y + 4 = 0 jest

Przykład Problem 3

Znajdź ogólne równanie dla okręgu wyśrodkowanego w punkcie (-3,4) i naruszającego oś Y!

Dyskusja:

Przede wszystkim narysujmy najpierw wykres koła, które jest wyśrodkowane w punkcie (-3,4) i narusza oś Y!

Na podstawie powyższego obrazu można zauważyć, że środek koła znajduje się na współrzędnej (-3,4) o promieniu 3, więc:

Zatem ogólne równanie, które jest wyśrodkowane w punkcie (-3,4) i narusza oś Y, to

W niektórych przypadkach promień okręgu nie jest znany, ale znana jest styczna. Jak więc określić promień koła? Spójrz na poniższe zdjęcie.

Na powyższym obrazku widać, że styczna do równania px + qy + r = 0 odnosi się do koła o środku w C ( a, b ). Promień można określić za pomocą następującego równania. a, b ). Promień można określić za pomocą następującego równania.

Może być użyteczne.