Indukcja matematyczna to metoda dedukcyjna używana do udowodnienia prawdziwości lub fałszu twierdzeń.
Musiałeś uczyć się matematyki w liceum. Jak wiemy, indukcja matematyczna jest rozszerzeniem logiki matematycznej.
W jej zastosowaniu logika matematyczna służy do badania twierdzeń, które są fałszywe lub prawdziwe, równoważne lub zaprzeczalne i wyciągania wniosków.
Podstawowe koncepcje
Indukcja matematyczna to metoda dedukcyjna, która służy do udowodnienia prawdziwości lub fałszu twierdzeń.
W trakcie tego procesu wyciągane są wnioski na podstawie ważności ogólnie przyjętych stwierdzeń, tak aby konkretne stwierdzenia również mogły być prawdziwe. Ponadto zmienna w indukcji matematycznej jest również uważana za element naturalnego zbioru liczb.
Zasadniczo istnieją trzy kroki w indukcji matematycznej, aby udowodnić, czy wzór lub stwierdzenie mogą być prawdziwe, lub odwrotnie.
Te kroki to:
- Udowodnij, że stwierdzenie lub formuła jest prawdziwe dla n = 1.
- Załóżmy, że stwierdzenie lub wzór jest prawdziwe dla n = k.
- Udowodnij, że stwierdzenie lub formuła jest prawdziwe dla n = k + 1.
Z powyższych kroków możemy założyć, że stwierdzenie musi być weryfikowalne dla n = k i n = k + 1.
Rodzaje indukcji matematycznej
Istnieje wiele problemów matematycznych, które można rozwiązać za pomocą indukcji matematycznej. Dlatego indukcję matematyczną można podzielić na trzy typy, a mianowicie szereg, podział i nierówność.
1. Seria
W tego typu szeregach zwykle problem indukcji matematycznej występuje w postaci sukcesywnego dodawania.
Tak więc w zadaniu szeregowym prawda musi zostać udowodniona w pierwszym członie, członie k i członie th (k + 1).
2. Podział
Rodzaje indukcji matematycznej dzielenia można znaleźć w różnych zadaniach, które używają następujących zdań:
- a jest podzielne przez b
- współczynnik b a
- b dzieli a
- a wielokrotności b
Te cztery cechy wskazują, że twierdzenie można rozwiązać za pomocą indukcji matematycznej typu dzielenia.
Należy pamiętać, że jeśli liczba a jest podzielna przez b, to a = bm, gdzie m jest liczbą całkowitą.
3. Nierówność
Rodzaj nierówności jest oznaczony znakiem mniejszym lub większym niż ten w oświadczeniu.
Istnieją właściwości, które są często używane w rozwiązywaniu matematycznych typów nierówności. Te cechy to:
- a> b> c ⇒ a> c lub a <b <c ⇒ a <c
- a 0 ⇒ ac <bc lub a> b oraz c> 0 ⇒ ac> bc
- a <b ⇒ a + c <b + c lub a> b ⇒ a + c> b + c
Przykład problemów związanych z indukcją matematyczną
Poniżej znajduje się przykładowy problem, dzięki któremu można lepiej zrozumieć, jak rozwiązać dowód wzoru za pomocą indukcji matematycznej.
Rząd
Przykład 1
Udowodnić 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1) dla każdych n liczb naturalnych.
Odpowiedź:
P (n): 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1)
Zostanie udowodnione, że n = (n) jest prawdziwe dla każdego n ∈ N
Pierwszy krok :
Okaże się, że n = (1) jest poprawne
2 = 1 (1 + 1)
Zatem P (1) jest poprawne
Drugi krok :
Załóżmy, że n = (k) jest prawdą, tj.
2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1), k ∈ N
Trzeci krok
Okaże się, że n = (k + 1) jest również prawdziwe, to znaczy
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
Z założeń:
2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1)
Dodaj obie strony za pomocą u k + 1 :
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = k (k + 1) + 2 (k + 1)
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 2)
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
Zatem n = (k + 1) jest poprawne
Przykład 2
Użyj indukcji matematycznej, aby udowodnić równania
Sn = 1 + 3 + 5 +7 +… + (2n-1) = n2 dla wszystkich liczb całkowitych n ≥ 1.
Odpowiedź:
Pierwszy krok :Okaże się, że n = (1) jest poprawne
S1 = 1 = 12
Drugi krok
Załóżmy, że n = (k) jest prawdą
1 + 3 + 5 +7 + ... + 2 (k) -1 = k2
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k 2
Trzeci krok
Udowodnij, że n = (k + 1) jest prawdą
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
pamiętaj, że 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k2
następnie
k2 + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
k2 + 2k + 1 = (k + 1) 2
(k + 1) 2 = (k + 1) 2
wtedy powyższe równanie jest sprawdzone
Przykład 3
Udowodnić, że 1 + 3 + 5 +… + (2n - 1) = n2 jest prawdą, dla każdych n liczb naturalnych
Odpowiedź:
Pierwszy krok :
Okaże się, że n = (1) jest poprawne
1 = 12
Zatem P (1) jest poprawne
Drugi krok :
Załóżmy, że n = (k) jest prawdą
1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) = k2, k ∈ N.
Trzeci krok :
Okaże się, że n = (k + 1) jest również prawdziwe, to znaczy
1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
Z założeń:1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2
Dodaj obie strony za pomocą u k + 1 :
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + (2 (k + 1) - 1)
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + 2k +1
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
Zatem n = (k + 1) jest również prawdziwe
Podział
Przykład 4
Udowodnij, że n3 + 2n jest podzielne przez 3 dla każdych n liczb naturalnych
Odpowiedź:
Pierwszy krok :
Okaże się, że n = (1) jest poprawne
13 + 2,1 = 3 = 3,1
Zatem n = (1) jest poprawne
Przeczytaj także: Zrozumienie i charakterystyka ideologii komunistycznej + przykładyDrugi krok :
Załóżmy, że n = (k) jest prawdą
k3 + 2k = 3m, k ∈ NN
Trzeci krok:
Okaże się, że n = (k + 1) jest również prawdziwe, to znaczy
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, p ∈ ZZ
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (2k + 2)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3m + 3 (k2 + k + 1)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3 (m + k2 + k + 1)
Ponieważ m jest liczbą całkowitą, a k jest liczbą naturalną, (m + k2 + k + 1) jest liczbą całkowitą.
Załóżmy więc, że p = (m + k2 + k + 1)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, gdzie p ∈ ZZ
Zatem n = (k + 1) jest poprawne
Nierówność
Przykład 5
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n ≥ 2 jest ważne
3n> 1 + 2n
Odpowiedź:
Pierwszy krok :
Okaże się, że n = (2) jest poprawne
32 = 9> 1 + 2,2 = 5
Zatem P (1) jest poprawne
Drugi krok :
Załóżmy, że n = (k) jest prawdą
3k> 1 + 2k, k ≥ 2
Trzeci krok:
Okaże się, że n = (k + 1) jest również prawdziwe, to znaczy
3k + 1> 1 + 2 (k + 1)
3k + 1 = 3 (3k)3k + 1> 3 (1 + 2k) (ponieważ 3k> 1 + 2k)
3k + 1 = 3 + 6k
3k + 1> 3 + 2k (ponieważ 6k> 2k)
3k + 1 = 1 + 2k + 2
3k + 1 = 1 + 2 (k + 1)
Zatem n = (k + 1) jest również prawdziwe
Przykład 6
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n ≥ 4 jest ważne
(n + 1)! > 3n
Odpowiedź:
Pierwszy krok :
Okaże się, że n = (4) jest poprawne
(4 + 1)! > 34
lewa strona: 5! = 5,4.3.2,1 = 120
prawa strona: 34 = 81
Zatem n = (4) jest poprawne
Drugi krok :
Załóżmy, że n = (k) jest prawdą
(k + 1)! > 3k, k ≥ 4
Trzeci krok:
Okaże się, że n = (k + 1) jest również prawdziwe, to znaczy
(k + 1 + 1)! > 3k + 1
(k + 1 + 1)! = (k + 2)!(k + 1 + 1)! = (k + 2) (k + 1)!
(k + 1 + 1)! > (k + 2) (3k) (ponieważ (k + 1)!> 3k)
(k + 1 + 1)! > 3 (3k) (ponieważ k + 2> 3)
(k + 1 + 1)! = 3k + 1
Zatem n = (k + 1) jest również prawdziwe
