Wartość bezwzględna w rachunku różniczkowym jest bardzo przydatna do rozwiązywania różnych problemów matematycznych, zarówno dotyczących równań, jak i nierówności. Poniżej znajduje się pełne wyjaśnienie wartości bezwzględnych i przykładowych pytań.
Definicja wartości bezwzględnej
Wszystkie liczby mają swoje odpowiednie wartości bezwzględne. Wszystkie liczby bezwzględne są dodatnie, więc wartości liczb bezwzględnych liczb o tej samej liczbie, ale różnica między zapisami dodatnimi (+) i ujemnymi (-), będą miały ten sam wynik liczbowy.
Jeśli x jest członkiem liczby rzeczywistej, to wartość bezwzględna jest zapisywana jako | x | i jest zdefiniowany w następujący sposób:
„Wartość bezwzględna to liczba o tej samej wartości długości lub odległości od początku lub punktu zerowego we współrzędnych”.
Można zinterpretować, że wartość bezwzględna 5 to długość lub odległość od punktu 0 do punktu 5 lub (-5).
Wartości bezwzględne (-9) i 9 to 9. Wartość bezwzględna 0 to 0 i tak dalej. Nilaa
Całkowicie to zrozumiem, patrząc na poniższy obrazek:
Na powyższym obrazku można zrozumieć, że wartość | 5 | jest odległością punktu 5 od liczby 0, czyli 5, i | -5 | odległość punktu (-5) od cyfry 0 wynosi 5.
Jeśli | x | reprezentuje odległość od punktu x do 0, a następnie | xa | jest odległością od punktu x do punktu a. Na przykład, wyrażając odległość od punktu 5 do punktu 2, można ją zapisać jako | 5-2 | = 3
Generalnie można stwierdzić, że odległość x do a można zapisać w notacji | xa | lub | siekiera |
Na przykład odległość liczby do punktu 3 jest warta 7 w następujący sposób:
Jeśli opisano w równaniu algebraicznym | x-3 | = 7, można to rozwiązać w następujący sposób:
Przeczytaj także: Pomiar trzęsień ziemi za pomocą logarytmów
Pamiętaj, że | x-3 | jest odległością od liczby x do punktu 3, gdzie | x-3 | = 7 to odległość od liczby x do punktu 3 dla 7 jednostek.
Właściwości wartości bezwzględnej
W operacjach na równaniach liczb bezwzględnych istnieją właściwości liczb bezwzględnych, które mogą pomóc w rozwiązaniu równań liczb bezwzględnych.
Poniżej przedstawiono właściwości liczb bezwzględnych ogólnie w równaniach wartości bezwzględnych:
Własności wartości bezwzględnej nierówności:
Przykłady problemów z równaniami wartości bezwzględnej
Przykład Problem 1
Jaka jest wartość bezwzględna równania | 10-3 |?
Odpowiedź:
| 10-3 | = | 7 | = 7
Przykład Problem 2
Jaki jest wynik x dla równania wartości bezwzględnej | x-6 | = 10?
Odpowiedź:
Aby rozwiązać to równanie, istnieją dwa możliwe wyniki dla liczb bezwzględnych
| x-6 | = 10
Pierwsze rozwiązanie:
x-6 = 10
x = 16
drugie rozwiązanie:
x - 6 = -10
x = -4
Zatem odpowiedź na to równanie to 16 lub (-4)
Przykład Problem 3
Rozwiąż i oblicz wartość x w następującym równaniu
–3 | x - 7 | + 2 = –13
Odpowiedź:
–3 | x - 7 | + 2 = –13
–3 | x - 7 | = –13 - 2
–3 | x - 7 | = –15
| x - 7 | = –15 / –3
| x - 7 | = 5
Gotowe do rozwiązania powyżej, wtedy wartość x ma dwie wartości
x - 7 = 5
x = 12
lub
x - 7 = - 5
x = 2
więc końcowa wartość x to 12 lub 2
Przykład Problem 4
Rozwiąż następujące równanie i określ wartość x
| 7 - 2x | - 11 = 14
Odpowiedź:
| 7 - 2x | - 11 = 14
| 7 - 2x | = 14 + 11
| 7 - 2x | = 25
Po wykonaniu powyższego równania liczby dla wartości bezwzględnej x są następujące
7 - 2x = 25
2x = - 18
x = - 9
lub
7 - 2x = - 25
2x = 32
x = 16
Więc końcowa wartość x to (- 9) lub 16
Przykładowy problem 5
Znajdź rozwiązanie następującego równania wartości bezwzględnej:
| 4x - 2 | = | x + 7 |
Odpowiedź:
Aby rozwiązać powyższe równanie, użyj dwóch możliwych rozwiązań, a mianowicie:
Przeczytaj także: Błędy w odczycie wyników statystyk badania wyborów prezydenckich4x - 2 = x + 7
x = 3
lub
4x - 2 = - (x + 7)
x = - 1
Więc rozwiązanie równania | 4x - 2 | = | x + 7 | czy x = 3 lub x = - 1
Przykładowy problem 6
Określ rozwiązanie następującego równania wartości bezwzględnej:
| 3x + 2 | ² + | 3x + 2 | - 2 = 0
Jaka jest wartość x?
Odpowiedź:
Uproszczenie: | 3x + 2 | = p
następnie
| 3x + 2 | ² + | 3x + 2 | -2 = 0
p² + p - 2 = 0
(p + 2) (p - 1) = 0
p + 2 = 0
p = - 2 (wartość bezwzględna nie jest ujemna)
lub
p - 1 = 0
p = 1
| 3x + 2 | = 1
Aż do powyższego rozwiązania istnieją 2 możliwe odpowiedzi na x, a mianowicie:
3x + 2 = 1
3x = 1 - 2
3x = - 1
x = - 1/3
lub
- (3x + 2) = 1
3x + 2 = - 1
3x = - 1 - 2
3x = - 3
x = - 1
Zatem rozwiązanie równania to x = - 1/3 lub x = - 1
Odniesienie: Wartość bezwzględna - matematyka to zabawa
